O status da educação científica no século 19 é uma bagunça muito complicada, especialmente pelo fato de que cada país trabalhava diferente dos outros. Não conheço nenhum livro ou artigo que trate desse problema em geral, então tentarei uma resposta com base em várias leituras, principalmente biografias.

1) Educação básica no século 19

Para entender o que acontecia nas universidades, é preciso entender a situação da educação primária e secundária no século XIX. Até a década de 1870, havia poucas leis sobre educação. Grande parte da população era analfabeta. Pessoas mais ricas enviariam seus filhos para a educação primária para aprender a ler, e a educação secundária consistiria principalmente em latim, grego, autores clássicos e religião. Embora eu não tenha certeza, é possível que as escolas ensinassem o básico da geometria euclidiana. O que é certo é que tópicos matemáticos mais avançados, como geometria analítica, foram deixados para o ensino superior. As ciências não eram vistas como relevantes para uma educação que existia para criar uma elite intelectual. Portanto, não é que o que vemos hoje nas escolas não tenha sido ensinado, mas nenhuma ciência. Esta situação foi mantida até a virada do século 20 em vários graus. A autobiografia de Heisenberg (W. Heisenberg, Physics and Beyond) menciona que ele estudou o conceito de átomos na escola, onde o livro ilustrou uma ligação química como os átomos com ganchos. No Reino Unido, a biografia de Dirac (G. Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac) diz que ele estudou ciências e línguas modernas na escola, mas isso era incomum porque ele era de classe baixa e frequentava a faculdade técnica, embora fosse mais rico as pessoas ainda frequentavam escolas de ensino fundamental com foco nos clássicos. O ensino generalizado de ciências nas escolas secundárias é um fenômeno da Guerra Fria, em que os países se esforçam muito para criar muitos engenheiros e outras profissões científicas, como a corrida armamentista e a corrida espacial.

2) O estado da física no século 19

O que agora estudamos na física não degradada não era visto como um campo unificado naquela época. A mecânica e a óptica (bem como a astronomia) eram vistas como parte da matemática, e as ciências experimentais eram agrupadas como filosofia natural. O termo "físico", que significa alguém que usava o raciocínio dedutivo nas ciências experimentais, só foi cunhado em 1840 por William Whewell, e demorou um pouco para começar (o que você pode ver usando o google ngram). Portanto, se você quisesse estudar mecânica, obteria um diploma de matemática e, se se importasse com experimentos, estudaria ciências naturais (o diploma de ciências naturais em Cambridge começou em 1851, embora eu ache que possa ter precedentes na Alemanha). Reunir os dois é um fenômeno do final do século 19 e início do século 20. A autobiografia de Plank (M. Planck, Scientific Autobiography and Other Papers) menciona que o conceito de física teórica estava começando a ser discutido na época em que ele fez seu doutorado na década de 1880, principalmente por causa de problemas envolvendo a termodinâmica, como o espectro do corpo negro. A propósito, esta distinção da física em duas partes é a razão pela qual a física teórica ainda está no departamento de matemática no Reino Unido e nas ex-colônias (e eu suspeito que na União Soviética)

3) O estado de Ensino de física no século 19

A sua pergunta concentra-se principalmente no que as pessoas de fato estudaram. Aqui fica mais complicado porque cada país tinha seu próprio sistema. Se tomarmos Cambridge como representante do Reino Unido, lá o ensino de graduação foi baseado no sistema Tripos. Basicamente, você ficou na universidade por 3-4 anos, tendo aulas aleatórias e estudando com um professor particular. No final do seu tempo você fez o exame Tripos, um único teste com duração de dias, e se você passou você tirou um diploma. Não havia estudos de doutorado em si, depois que as pessoas do Tripos que se mostrassem promissoras poderiam receber uma bolsa, uma bolsa de uma das faculdades, para ensinar e orientar. Se eles pesquisassem, geralmente deveriam estar ligados a instituições reais de alguma ciência de outra.

A Alemanha é o berço do sistema de graduação / doutorado no início do século XIX. Durante a graduação, esperava-se que você frequentasse as aulas que desejasse. Na verdade, muitos professores não recebiam remuneração da universidade, mas possuíam licença para lecionar e eram pagos de acordo com o número de alunos que frequentavam as aulas que ofereciam. O doutorado foi quando você trabalhou com um orientador e teve que produzir uma dissertação para ser examinada.

Pelo que eu entendi, a França era o lugar onde você tinha um currículo rígido. O sistema de Grandes Ecoles e Ecoles Normales tinha aulas predeterminadas e era fortemente baseado na aula expositiva. A França não tinha PhDs até o final do século 19, nem a ideia de universidade de pesquisa (embora, é claro, muitos cientistas franceses fizeram pesquisas, principalmente no estilo britânico de conexão com outras instituições).

Resumindo, durante a maior parte do século 19 as universidades não tinham um currículo rígido, então, para responder o que as pessoas estudavam, você tinha que cavar os exames em que tinham que passar. É digno de nota que na década de 1850 o Teorema de Stokes apareceu no exame para o Prêmio Smith, uma parte opcional da matemática Tripos em Cambridge que avaliou trabalhos originais em vez de estudos anteriores, como uma questão para generalizar o Teorema de Green para 3 dimensões, a partir de o que presumimos que não foi explicitamente ensinado. Isso pode lhe dar uma ideia pelo menos do nível de matemática. Em qualquer caso, a maioria das aulas foram feitas pelos professores a partir de suas notas pessoais, então digamos que fazer uma aula de ODEs do professor A pode ser muito diferente de fazer a aula com o mesmo nome do professor B.

[como um adendo, a falta de um sistema de doutorado difundido é a razão pela qual o Projeto de Genealogia da Matemática tem que fazer algumas suposições ao estabelecer relações com o supervisor antes do século 20 para muitos casos]

4) O Estado da Educação Termodinâmica no século 19

Como acho que a resposta não foi satisfatória, tentarei apontar que a ideia da termodinâmica se baseava na primeira e na segunda leis, e o entendimento de que a energia termodinâmica era apenas outra forma de energia demorou muito para se desenvolver. A biografia de Planck (a mesma de antes) menciona que ele lutou em seus primeiros anos para juntar o que era conhecido em uma estrutura unificada, e que só mais tarde ele descobriu que Gibbs havia feito o mesmo nos Estados Unidos (ambos na década de 1870), enquanto o de Silvanus Thompson Elementary Lessons in Electricity and Magnetism (1890) diz que ainda foi discutido se a energia elétrica era uma energia como as outras, então não é surpreendente que Kelvin estivesse aprendendo de artigos originais sobre a primeira lei da termodinâmica (Joule fez o experimento, Helmholtz o teoria).

Quanto à teoria da condução de calor de Fourier, é bom notar que a Equação de Calor é uma descrição empírica pobre do transporte de calor na maioria das situações (Joel Lebowitz tem um artigo sobre a Equação de Calor onde ele discute isso apenas em uma cópia do material , com diferenças de temperatura baixas pode-se realmente modelar o transporte como no trabalho de Fourier). A grande novidade aqui foi Fourier sugerindo que todas as funções poderiam ser representadas por uma série trigonométrica em um determinado intervalo. Naquela época, as questões de convergência eram mal compreendidas, acho que até Weierstrass, no final do século 19, então a polêmica parece normal.

[Tentei me lembrar das coisas o melhor que pude a partir de todas as biografias e livros sobre a história da matemática e da física, mas tenho certeza de que há alguns erros aparecendo, então pegue tudo com muitos grãos de sal. Espero que os comentários sejam preenchidos com correções e eu os atualizarei de acordo. Peço desculpas por qualquer erro que possa enganar alguém.]