Poincaré fez uso essencial dos resultados de Bruns em seu famoso livro de memórias Le Probléme des Trois Corps [O problema dos três corpos], Revue générale des sciences pures et appliquees 2, 1-5 (1891). Aqui está o resumo de Poincaré dos resultados de Bruns, e o seu próprio, traduzido por Chenciner em Poincaré e o Problema dos Três Corpos:
" As equações diferenciais do O Problema de Três Corpos possui uma série de integrais que são familiares há muito tempo; essas são as do movimento do centro de massa, as integrais de área, a energia. Era extremamente improvável que eles pudessem ter outras integrais algébricas; no entanto, é apenas nos últimos anos que o Sr. Bruns provou isso rigorosamente. Mas podemos ir mais longe; além das integrais conhecidas, o Problema dos Três Corpos não admite nenhuma integral analítica e uniforme; um estudo cuidadoso das propriedades das soluções periódicas e assintóticas é o suficiente para estabelecer isso. Pode-se concluir que os vários desenvolvimentos propostos até agora são divergentes, pois sua convergência implicaria na existência de uma integral uniforme. "
Chenciner dá uma discussão abrangente e referências ao original de Bruns aper, H. Bruns, Über die Integrale des Vielkörper-problems [On the Integrals of the Multi-body Problems], Acta Mathematica, volume 11 (1887). Também relevante é o artigo de Poincaré Sur la Méthode de Bruns [Sobre o método de Bruns], C.R.A.S. 1896, t. 123, 1224-1228.
Curiosamente, apesar de tudo isso, existe uma solução de série de potência convergente para o problema de 3 corpos, que foi encontrada por Sundman em 1913. Saari fornece um relato acessível da construção de Sundman em Uma visita a o problema newtoniano de N-corpos via variáveis complexas elementares:
" Ironicamente, uma de suas principais conclusões matou o interesse em uma linha de investigação, então este resultado em particular não é muito conhecido. Deveria ser; é onde Sundman" resolveu "o problema dos três corpos padrões aceitos do final dos anos 1800 e início de 1900. De fato, no final dos anos 1800, o rei da Suécia e da Noruega estabeleceram um prêmio para quem pudesse encontrar a solução para o problema do corpo N. O prêmio foi concedido a Poincaré em 1889, embora ele não tinha resolvido o problema original. (Por outro lado, o trabalho premiado de Poincaré contém uma riqueza de ideias que permanecem influentes.) O problema originalmente declarado foi finalmente resolvido em 1913 por Sundman [16] quando ele encontrou uma solução de série convergente para o problema de três corpos. Infelizmente, sua série converge tão lentamente que, essencialmente, é inútil para qualquer propósito prático. "
Este é um raro exemplo de uma solução explicitamente construtiva chegando longe de ser praticamente útil. No entanto, há um interesse renovado recentemente em generalizar os métodos de Sundman para os problemas de $ N $ -body com $ N>3 $.