Doubt
2018-05-31 00:41:10 UTC
Em The Idea of a University de John Henry Newman (c. 1850), ele escreve que, na ciência matemática, somos informados de
... a existência de um número infinito de curvas, que são capazes de dividir um espaço, no qual nenhuma linha reta, embora seja de comprimento sem largura, pode sequer entrar.
Ele usa isso como um exemplo de uma ideia que, embora possa ir contra a intuição, não precisa ser imediatamente rejeitada. Mas, em termos modernos, a que conceito matemático Newman está se referindo?
Infelizmente, muitos filósofos usam metáforas matemáticas sem entender do que estão falando.
@AlexandreEremenko Na mesma palestra, Newman diz: "Eu, de minha parte ... abriria meu coração, se não meu intelecto (pois isso está além de mim), para todo o círculo da verdade." Ele confessa que muito nas ciências ultrapassa seu entendimento. Mas certamente, acima, ele está se referindo a um conceito matemático real do qual ouviu falar em algum momento.
Parece uma "curva de preenchimento de espaço", embora possa não ter sido definida matematicamente até mais tarde.
Mesmo depois de lê-lo em contexto, [The Idea of a University, p.464] (https://archive.org/details/ideaauniversity03newmgoog), ainda não consigo analisar a frase. Não pode entrar o quê? O espaço? O "número infinito de curvas" que o divide? Uma linha reta não pode "entrar" em qualquer foliação do espaço por linhas não retas, eu acho, mas isso dificilmente vai contra a intuição. Será que o espaço pode ser folheado por infinitos "comprimentos sem largura"? Mas isso já pode ser feito com linhas retas.
Estou supondo pelo tempo (c. 1850) que ele pode ter se referido a alguma construção na geometria Bolyai-Lobachevskiana / hiperbólica ou na geometria projetiva.
Ele pode estar falando sobre famílias de curvas de equações diferenciais, como a família de todos os círculos centrados na origem sendo as soluções para a equação diferencial $ yy '+ x = 0, $ e a família de todos os círculos tangentes a $ x $ -eixo sendo as soluções para a equação diferencial $ [1 + (y ') ^ 2] ^ 3 = [1 + (y') ^ 2 + yy ''] ^ 2. $ Além disso, o tópico de [envelopes e involutos] (https://www.google.com/search?tbs=cdr%3A1%2Ccd_min%3A1800%2Ccd_max%3A1899&tbm=bks&q=calculus+envelopes+involutes) era muito comum em textos de cálculo no século XIX.
Também me ocorre que "linha reta" pode incluir o que hoje chamaríamos de segmento de linha, então o problema é ser densamente preenchido (ou totalmente preenchido; a distinção provavelmente não era feita por muitas pessoas que não eram matemáticas). Eu teria que olhar alguns dos livros de 1800 que tenho sobre cálculo e geometria analítica (mais de 20 em formato impresso de capa dura; facilmente mais de 1000 como arquivos .pdf) para ter uma ideia de como os segmentos de linha foram referidos, algo que eu não faço não tenho tempo para fazer agora. A propósito, a razão para "reta" nessa frase é que "linha" normalmente significava o que agora chamaríamos de "curva".
Provavelmente não era uma curva de preenchimento de espaço: 'a curva de Peano é o primeiro exemplo de uma curva de preenchimento de espaço a ser descoberta, por Giuseppe Peano em 1890' https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_curve, e tem de haver infinitas curvas de qualquer maneira. Incontáveis ou incontáveis? A distinção era conhecida antes do artigo de Cantor de 1874? https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor%27s_first_set_theory_articleExcluir todas as bolas do complemento das curvas parece difícil sem pensar, por exemplo. círculos concêntricos com todos os raios _racionais_. Então estou de volta às cardinalidades que não foram inventadas.