Questão:
Como e quando a prova de Bolzano do teorema de Bolzano-Weierstrass foi redescoberta?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
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Sempre tive curiosidade em saber como grandes ideias esquecidas são redescobertas. Esta pergunta: Existem fontes escritas (século 19) expressando a crença de que a propriedade de valor intermediário é equivalente à continuidade? me levou ao seguinte artigo:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Não é tão desconhecido para seus contemporâneos como comumente se acredita?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Paywall de Elsevier , desculpe, não consegui encontrar uma versão liberada.)

que diz que "Herman Hankel é creditado por ter sido o primeiro a trazer Bolzano à atenção geral da comunidade matemática em 1871. " (e Schubring prossegue argumentando que, na verdade, o trabalho de Bolzano provavelmente era conhecido pelo círculo de Crelle em Berlim por volta de 1825 antes de ser esquecido.)

Como Hankel descobriu o trabalho de Bolzano e reconheceu que Bolzano tinha prioridade sobre Weierstrass?

Um responda:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
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Aviso justo: esta resposta não responde completamente à pergunta, mas acho que pode responder à pergunta tão bem quanto é possível fazer.

O artigo que Hankel escreveu (publicado em 1971) que geralmente é creditado por "redescobrir" o trabalho de Bolzano foi um artigo na seção 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) da Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, uma das maiores enciclopédias já escritas (abrangendo 167 volumes, apesar de ser incompleto). Você pode ler esta seção livremente aqui no Google Livros. O artigo de Hankel é sobre "Grenze" ("limites").

O parágrafo relevante sobre Bolzano está nas páginas 209-210, enquanto discute a história da análise. Fornecerei uma tradução aproximada em inglês moderno deste parágrafo. Devo observar que não sei quase nada de alemão, portanto, a tradução exige muitas suposições e posso estar errado em alguns lugares. Qualquer pessoa que saiba alemão deve sentir-se à vontade para anotar erros.

Pior ainda foi outro contemporâneo que permaneceu então e agora quase totalmente desconhecido entre os matemáticos: Temos que reivindicar a prioridade do primeiro desenvolvimento rigoroso no série de análises algébricas em favor do excelente Bernhard Bolzano. As noções de Bolzano sobre a convergência das séries são escritas de maneira bastante clara e correta, suas operações com séries infinitas todas estritamente provadas, e nada há de errado com o desenvolvimento dessas afirmações para argumentos reais, que ele supõe em toda parte. No prefácio, ele dá uma crítica adequada das derivações anteriores do teorema binominal e, em seguida, do uso irrestrito comum de séries infinitas. Em suma, este trabalho não era apenas uma arte francesa, ele deveria ser colocado a esse respeito no mesmo nível de Cauchy, e expressou seus pensamentos de forma agradável. Mas Bolzano permaneceu desconhecido e logo foi esquecido; Cauchy foi o sortudo, aquele elogiado como um reformador da ciência e cujos elegantes escritos em pouco tempo encontraram disseminação geral.

Neste parágrafo, Hankel credita basicamente a Bolzano o desenvolvimento de muitos dos fundamentos da análise independentemente de (e anos antes) Cauchy. No entanto, o trabalho de Bolzano permaneceu desconhecido, enquanto Cauchy, que era bem relacionado nos círculos de matemática franceses, achou fácil comunicar seu trabalho. Hankel não menciona onde ou como encontrou a obra de Bolzano.

Algum comentário histórico é necessário aqui. 1871 é um ano significativo; especificamente, é o ano da guerra franco-prussiana, uma época de forte orgulho nacional na Alemanha e antipatia geral por tudo que é francês. A enciclopédia em que Hankel estava escrevendo pretendia ser uma espécie de enciclopédia "para e pelo povo alemão". Hankel certamente não teria ficado feliz em dar o crédito pelo desenvolvimento da análise a Cauchy, um francês. Era muito melhor dá-lo a Bolzano. Claro, Bolzano não era o matemático alemão ideal, tendo passado a maior parte de sua carreira acadêmica na Áustria e sendo tanto um filósofo e teólogo quanto um matemático (e um polêmico nisso), mas ele falava e escrevia em alemão, e igualmente importante, não era francês. E Bolzano realmente fez (na maior parte) as coisas que Hankel atribuiu a ele. Para ser claro, não estou acusando Hankel de qualquer delito ao apontar isso, apenas dizendo que ele tinha um interesse considerável em atribuir o máximo que pudesse a Bolzano.

No entanto, há um certo problema atribuindo o desenvolvimento de limites na análise a Bolzano sobre Cauchy, embora seja mais filosófico do que matemático. Bolzano provavelmente teve uma interpretação muito diferente de seus teoremas do que os leitores posteriores. De fato, em "As Obras Matemáticas de Bernard Bolzano", Steve Russ argumenta que Bolzano não teria pensado em seus teoremas em termos de limites, que ele teria associado com os próprios infinitos que ele estava tentando eliminar. Das páginas 146-147:

No entanto, o reconhecimento moderno da obra de Bolzano levanta um problema histórico. Do artigo de Hankel em 1871 aos trechos em Bitkhoff (1973), os comentaristas se inclinaram a dar crédito particular a Bolzano por questões que na época ele via sob uma luz muito diferente desses críticos posteriores. Estamos pensando aqui no conceito aritmético de limite e no conceito de convergência de séries infinitas que são comumente adotados hoje. Esses conceitos foram usados ​​de alguma forma por muito tempo e, a julgar por outros exemplos em seus escritos, Bolzano não teria sido muito modesto para reivindicá-los como novos e originais se os tivesse considerado como tal. Ele não o faz. Sem dúvida, ele tinha grande confiança nessas definições; satisfizeram seus requisitos conceituais, ele sabia que seriam frutíferos e eficazes no desenvolvimento da análise, mas ele nunca afirma que sejam seus ...

É comumente assumido que após a introdução de quantidades rotuladas como ω, ou Ω, possivelmente com subscritos, é descrito em BL §14 e seguintes. uma teoria de limites bastante padrão. A ironia é que Bolzano, junto com a maioria de seus contemporâneos, teria associado limites a processos infinitos (ou quantidades infinitamente pequenas). E então ele, neste momento, ficaria horrorizado por estar associado a tal teoria. Observações semelhantes aplicam-se a seu trabalho sobre a convergência de séries. Ele acreditava estar tratando a série binomial para expoentes negativos e racionais de uma maneira puramente finita. A maneira como ele usa suas quantidades ω - quantidades variáveis ​​que podem se tornar menores do que qualquer quantidade dada, ou que podem se tornar tão pequenas quanto quisermos, naturalmente apelou para uma gama infinita de valores. Podemos chamá-los de 'quantidades arbitrariamente pequenas'. Rusnock sugere que esse conceito de uma variável que pode se tornar tão pequena quanto o desejado era comum na época. É uma espécie de contrapartida de uma quantidade variável física. Ele sugere que os ω de Bolzano podem ser interpretados como intervalos de valores contendo zero ...

Isso quer dizer que o julgamento de Bolzano de Hankel como um descobridor independente do A rigorosa teoria dos limites na análise, embora correta em termos de conteúdo matemático , é certamente falsa se levarmos em consideração os aspectos filosóficos de sua obra. Mas, é claro, mesmo que Hankel percebesse isso, ele teria pouco a ganhar apontando isso explicitamente em seu artigo. Em qualquer caso, nem os métodos de Bolzano nem seus teoremas eram menos rigorosos do que os de Cauchy; apenas sua interpretação das definições e do conteúdo dos teoremas era diferente.

Em qualquer caso, você notará que Hankel não mencionou Bolzano-Weierstrass especificamente, nem o teorema do valor intermediário (que era o objetivo final de Bolzano, para o qual Bolzano-Weierstrass era apenas um lema). Isso não é muito surpreendente. Embora Hankel provavelmente estivesse ciente do resultado de Weierstrass (eles se conheciam bem, Hankel havia trabalhado com Weierstrass em Berlim em 1861 antes de seu doutorado), provavelmente era muito recente para avaliar seu significado, especialmente no contexto deste tipo de publicação. Nem mesmo está claro se Hankel leu as partes do trabalho de Bolzano relacionadas ao teorema do valor intermediário; as partes que ele cita no artigo estão em outro lugar. Portanto, não foi realmente Hankel quem estabeleceu a prioridade de Bolzano aqui.

Depois da citação original de Hankel, alguns matemáticos voltaram e leram as várias obras de Bolzano, reinterpretando-as em uma linguagem mais moderna. Otto Stolz em particular é creditado por redescobrir e republicar muitas de suas obras matemáticas em 1881. Isso incluiu o artigo relevante, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , que antecede Weierstrass e até Cauchy, estabelecendo a prioridade de Bolzano para o teorema do valor intermediário e o teorema de Bolzano-Weierstrass. Vários outros matemáticos e filósofos alemães influentes também leram as obras de Bolzano, e alguns outros resultados matemáticos interessantes foram encontrados. Seu legado foi provavelmente cimentado nas várias notas históricas no altamente influente (pelo menos em Göttingen) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, que menciona seu trabalho várias vezes como estando muito à frente de seu tempo.

Isso responde à pergunta sobre Bolzano-Weierstrass, mas ainda há uma pergunta persistente sem resposta, ou seja, como Hankel encontrou Bolzano em primeiro lugar (o que foi uma grande parte da sua pergunta original). Não sei a resposta para isso e, pelo que sei, ninguém sabe. Talvez ele tivesse algum conceito de que havia uma escola de filosofia analítica do Leste Europeu que no início do século 19 lidava com questões relacionadas ao infinito e estava descontente com a abordagem informal de Leibniz ao cálculo. Ou talvez, ao escrever o artigo, ele tenha travado uma conversa com alguém (possivelmente alguém que conhecia a obra de Bolzano no período da década de 1820 mencionado no artigo que você citou, ou possivelmente nem mesmo um matemático) que sugeriu que ele procurasse aquele direção. Hankel fez um estudo decente sobre a história da matemática (embora suas obras históricas normalmente tivessem erros notáveis), também apontando a importância do trabalho de Hermann Grassmann em 1867, duas décadas depois de Grassman ter essencialmente parado fazendo matemática, então ele certamente tinha um entendimento mais amplo das obras de seus predecessores do que o matemático médio de sua época. Como exatamente Hankel encontrou Bolzano é uma incógnita, mas uma vez que o fez, está bem claro que ele não iria apenas ignorar em seu artigo, independentemente do que Bolzano fez / não pensou sobre como interpretar seus resultados. Hankel morreu em 1873, apenas 2 anos após a publicação do artigo e, pelo que sei, nunca mais comentou sobre o trabalho de Bolzano. Embora seja possível rastrear os movimentos de vários matemáticos de 1817 a 1871 para tentar descobrir como a ideia pode ter sido transmitida a Hankel (uma tarefa aparentemente hercúlea, embora não tecnicamente impossível), na melhor das hipóteses acabaríamos com um palpite, e a verdade provavelmente se perdeu na história.



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