Questão:
Qual é a diferença entre o cálculo de Newton e o de Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
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Existem diferenças entre o estudo de cálculo feito por Newton e o feito por Leibniz? Em caso afirmativo, mencione ponto por ponto.

Relacionado no Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- did-newton-and-leibniz-really-do-calculus, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Cinco respostas:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
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A notação de Newton, a notação de Leibniz e a notação de Lagrange estão todas em uso hoje até certo ponto, respectivamente:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Você pode encontrar mais exemplos de notação em Wikipedia.

A notação integral padrão ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) foi desenvolvida por Leibniz também. Newton não tinha uma notação padrão para integração.

Eu li em "The Information", de James Gleick, o seguinte: De acordo com Babbage, que finalmente assumiu o cargo de professor Lucasian em Cambridge, que Newton detinha, a notação de Newton prejudicou a matemática desenvolvimento. Ele trabalhou como estudante de graduação para instituir a notação de Leibniz como é usada hoje em Cambridge, apesar da aversão que a universidade ainda tinha por causa do conflito Newton / Leibniz. Essa notação é muito mais útil que a de Newton para a maioria dos casos. No entanto, isso implica que pode ser tratado como uma fração simples, o que está incorreto.

* No entanto, isso implica que pode ser tratado como uma fração simples, o que é incorreto. * Não é verdade. Para uma boa discussão sobre isso, veja Blaszczyk, Katz e Sherry, Ten Misconceptions from the History of Analysis and their Debunking, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Veja também http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Conforme explicado no artigo de Blaszczyk, Leibniz basicamente acertou completamente, incluindo o que na NSA é agora referido como a distinção entre o quociente dy / dx e o derivado, que é a parte padrão desse quociente.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
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Além da questão da notação, Newton experimentou uma série de abordagens básicas. Um dos primeiros envolveu infinitesimais, enquanto mais tarde ele se esquivou deles por causa da resistência filosófica de seus contemporâneos, muitas vezes decorrente de considerações religiosas sensíveis intimamente relacionadas a disputas interdenominacionais. Leibniz também estava ciente das brigas, mas usou infinitesimais e diferenciais sistematicamente no desenvolvimento do cálculo, e por isso teve mais sucesso em atrair seguidores e estimular a pesquisa - ou o que chamou de Ars Inveniendi .

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
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Você definitivamente deveria dar uma olhada no segundo capítulo de Huygens & Barrow, Newton & Hooke de Arnold. O falecido Prof. Arnold resumiu aí a diferença entre a abordagem de Newton à análise matemática e a de Leibniz da seguinte maneira:

A análise de Newton era a aplicação de séries de potências ao estudo do movimento ... Para Leibniz, .. .análise era um estudo algébrico mais formal de anéis diferenciais.

A visão geral de Arnold das contribuições de Leibniz ao tema é apimentada com um número não desprezível de observações instigantes:

No trabalho de outros geômetras - por exemplo, Huygens e Barrow - muitos objetos conectados com uma dada curva também apareceram [por exemplo: abscissa, ordenada, tangente, a inclinação da tangente, a área de um curvilíneo figura, o subtangente, o normal, o subnormal e assim por diante] ... Leibniz, com sua tendência individual à universalidade [considerou necessário descobrir a chamada característica, algo universal, que une tudo na ciência e contém todas as respostas a todas as perguntas], decidiu que todos esses quan tidades devem ser consideradas da mesma forma. Para isso, ele introduziu um único termo para qualquer uma das grandezas conectadas com uma dada curva e cumprindo alguma função em relação à curva dada - o termo função...

Assim , segundo Leibniz muitas funções estavam associadas a uma curva. Newton tinha outro termo - fluente - que denotava uma quantidade fluida, uma quantidade variável e, portanto, associada ao movimento. Com base nos estudos de Pascal e em seus próprios argumentos, Leibniz desenvolveu muito rapidamente a análise formal na forma que agora conhecemos. Ou seja, em uma forma especialmente adequada para ensinar análise por pessoas que não a entendem para pessoas que nunca vão entender ... Leibniz rapidamente estabeleceu as regras formais para operar com infinitesimais, cujo significado é obscuro.

O método de Leibniz era o seguinte. Ele presumiu que toda a matemática, como toda a ciência, se encontra dentro de nós, e somente por meio da filosofia podemos acertar em tudo se prestarmos atenção aos processos que ocorrem dentro de nossa mente. Por este método ele descobriu várias leis e às vezes com muito sucesso. Por exemplo, ele descobriu que $ d (x + y) = dx + dy $ , e esta descoberta notável imediatamente o forçou a pensar sobre qual é o diferencial de um produto . De acordo com a universalidade de seus pensamentos, ele rapidamente chegou à conclusão de que a diferenciação [tinha que ser] um homomorfismo de anel, isto é, que a fórmula $ d (xy) = dx dy $ deve conter. Mas depois de algum tempo, ele verificou que isso leva a algumas consequências desagradáveis ​​e encontrou a fórmula correta $ d (xy) = xdy + y dx $ , que agora é chamada de Leibniz regra. Nenhum dos matemáticos que pensam indutivamente - nem Barrow nem Newton, que como consequência foi chamado de asno empírico na literatura marxista - poderia [ter colocado] a hipótese original de Leibniz em sua cabeça, uma vez que para tal pessoa era bastante óbvia qual é o diferencial de um produto, a partir de um simples desenho ...

A afirmação de Arnold de que Leibniz "chegou à conclusão" de que $ d (xy) = dxdy $ é um erro que foi amplamente discutido em outro lugar. Leibniz não fez tal afirmação, mas, ao contrário, perguntou se isso era verdade. E com certeza ele chegou à conclusão de que não era assim, em breve. O tom sarcástico de Arnold provavelmente deriva de sua desconfiança (seguindo Berkeley e Cantor?) Dos infinitesimais, o que também é óbvio em algumas afirmações absurdas que ele faz aqui quanto à alegada "obscuridade" de seu significado.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
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De um ponto de vista prático, a notação era muito diferente.

Um ponto delicado para mim é que a notação de Leibniz permite que você incorretamente trabalhe com derivados como se fossem uma fração matemática. Infelizmente isso 'funciona' na maioria das vezes, então ainda é usado, mesmo em cursos universitários, hoje.

Não acho que haja algo de errado com atalhos, a ponto de eles não fazerem t interferir na compreensão. Nesse caso, acredito que isso cria um mal-entendido sobre o assunto. Acho que só isso coloca a notação de Newtons acima da de Leibniz.

Obrigado @carlosbriebiescas pelo insight, estarei lendo agora, porém, este é o único ponto de diferença?
-1: Receio que afirmações como essas sejam baseadas em um mal-entendido da notação de Leibniz, bem como no uso histórico da palavra função. Para obter detalhes, consulte, por exemplo, estas discussões: [Se d / dx for um operador, em que ele opera?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) e [Funções polimórficas em cálculo vetorial] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
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Da tradução de Loemker,

"O raciocínio de Leibniz, embora busque uma aplicação mais ampla da lei dos quadrados inversos do que apenas da gravidade, é menos geral do que o de Newton (Principia, Livro I, Proposições I, 2, 14), uma vez que pressupõe movimento harmônico. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Artigos filosóficos e cartas: uma seleção / Traduzido e editado, com uma introdução de Leroy E. Loemker. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970. p.362



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