Questão:
Que resultados teóricos de grupo eram conhecidos para vários casos especiais antes que a definição geral de um grupo fosse estabelecida?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
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Muitos resultados na teoria dos grupos foram comprovados para grupos de permutação antes que a definição geral de um grupo fosse estabelecida (por exemplo: teorema de Lagrange, teoremas de Sylow). No entanto, os grupos de permutação não foram os únicos grupos em estudo no século XIX, havia também grupos de transformações geométricas e grupos decorrentes da teoria dos números (não posso dar mais detalhes porque francamente não sei os detalhes).

Havia algum resultado da teoria geral de grupo conhecido para vários casos específicos além de apenas grupos de permutação, antes que a definição geral de um grupo tivesse sido formulada? Eu pergunto porque estou me perguntando se tais "coincidências" poderiam ter motivado a definição geral de um grupo. Como exemplo, o teorema de Lagrange era conhecido no século 19 tanto para grupos de permutação quanto para o grupo multiplicativo de $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (via Euler).

Provavelmente, vale a pena apontar (embora você certamente saiba disso) que qualquer resultado puramente teórico de grupo que pode ser provado para grupos de permutação vale para grupos abstratos pelo teorema de Cayley.
A insolubilidade de polinômios de quinta ordem por radicais foi comprovada antes de Galois, pelo que eu sei. Ele estabeleceu a base para o caso geral. Você poderia argumentar como isso é teórico de grupo.
Dois respostas:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
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O artigo The Abstract Group Concept, do arquivo McTutor, dá conta das etapas em direção à definição abstrata moderna. Em resumo, Cayley fez as primeiras tentativas fracassadas (citando explicitamente a lei associativa) em um artigo de 1854, mas só em 1895 Weber deu a definição moderna em seu Lehrbuch der Algebra . Weber incluiu grupos infinitos.

Quanto à pergunta original: além do teorema de Lagrange que você mencionou, não estou ciente de nenhum caso em que a definição abstrata unificou resultados separados anteriores. A definição abstrata não parece ter sido motivada por esse desejo. No entanto, é verdade que os grupos de Lie foram diretamente inspirados pelos grupos de permutação de Galois e pelo desejo de Lie de desenvolver uma teoria para equações diferenciais análoga à teoria de Galois.

Também parece plausível que Weber, ao escrever um texto abrangente sobre álgebra, visse a possibilidade de unir noções díspares. Mas isso é apenas uma conjectura da minha parte.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
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"Quase tudo" foi encontrado antes que a definição moderna geral de um grupo fosse estabelecida :-) Não estou certo de quem deu a primeira definição do grupo abstrato (como um conjunto com uma operação que satisfaça tais e tais axiomas). Mas provavelmente isso aconteceu no século 20 (várias pessoas são creditadas com isso). Para os matemáticos do século 19, um grupo era um grupo de transformações de um conjunto em si mesmo. E os primeiros resultados profundos pertencem a Lagrange e Galois.

Cayley é geralmente creditado com a definição abstrata de um grupo. Eu diria que no mesmo artigo de 1854 onde ele provou o teorema de Cayley.
@Michael Weiss: Você pode dar uma referência no artigo de Cayley? Ele considerou apenas grupos finitos ou arbitrários? Se for assim, todos os resultados anteriores a 1854 foram comprovados antes da definição geral de grupo. Mais notavelmente, a teoria de Galois.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Eu não li o artigo, daí minha formulação do comentário.
@Michal Weiss: bem, li a primeira página e ela confirma o que disse: para Cayley os ELEMETNS do grupo são "operações", ou "transformações", antes os elementos de algum conjunto abstrato :-) Acho que ninguém usou " define "sistematicamente antes de Cantor.
Você está certo, mas se você ler o resto do artigo você o encontrará tateando em direção ao conceito moderno. Enquanto isso, encontrei o artigo do arquivo McTutor que descreve o desenvolvimento do conceito abstrato.


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