Questão:
De que forma o campo da metamatemática existe hoje?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Eu estava reescrevendo o artigo da Wikipedia sobre metamatemática e era muito difícil encontrar qualquer referência após os anos 1930. Os trabalhos mais importantes parecem ter sido o teorema da completude e incompletude de Gödel.

Existe um campo da matemática hoje que é o sucessor espiritual da metamatemática conforme estudado por Gödel, Hilbert e os autores de Principia Mathematica?

Gosto desta pergunta porque exclui o uso da Wikipedia como resposta! :)
Já faz um tempo que li GEB ("Gõdel Escher Bach"; Hofstadter), mas isso pode me dar uma pista ou termina com Turing (ou seja, não muito longe de Gõdel!)?
Uma votação positiva por tentar abordar este tópico na Wikipedia.
Dois respostas:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Hoje em dia, a metamatemática é uma parte padrão da paisagem da lógica matemática.

Por um lado, a maioria dos trabalhos sobre os fundamentos da matemática provavelmente deve ser considerada metamatemática. A base padrão é a teoria dos conjuntos, com ZFC e suas variantes sendo as formalizações usuais. Mas esta não é de longe a única opção e, por exemplo, há um trabalho recente sobre o que agora chamamos de fundamentos univalentes baseados na teoria abstrata da homotopia. Em certo sentido, talvez seja mais próximo de Principia do que de ZFC, uma vez que a teoria dos tipos desempenha um papel importante. Por outro lado, a abordagem é realmente teórica de categorias, e as categorias não eram realmente concebidas na época de Principia. Embora essa nova abordagem esteja recebendo muita atenção, a comunidade de lógicos em geral está apenas começando a entender seu escopo e possibilidades. Uma série recente de tópicos na lista de e-mail FOM (fundações da matemática) ilustra a tensão atual.

Uma grande fração da pesquisa em áreas padrão da lógica matemática é conduzida por considerações metamatemáticas , mesmo que não no sentido de fundações revisadas.

Por exemplo, a matemática reversa (também mencionada em outra resposta) estuda a questão de quais axiomas de existência de conjunto são realmente necessários para argumentos matemáticos padrão. Os resultados típicos aqui argumentam que um teorema padrão (como o teorema do valor intermediário na análise clássica) é equivalente a ou, pelo menos, implica (sobre uma teoria de fundo razoavelmente fraca onde a discussão ocorre) um axioma de "existência" abstrato (por exemplo, cada árvore binária infinita tem um ramo infinito) ou uma instância de indução matemática.

A teoria da prova lida com as teorias como objetos matemáticos e estuda sua força, com base na extensão das provas (adequadamente definidas) quando comparadas a algumas opções padrão, ou de maneiras mais sutis (como considerações da chamada prova ordinais teóricos). Por exemplo, dentro da aritmética de Peano, o sistema padrão de axiomas de primeira ordem para a teoria dos números, podemos facilmente definir máquinas de Turing, a formalização usual de "programas de computador". Podemos então afirmar se uma relação binária < 'nos números naturais é recursiva, significando que existe um algoritmo (uma máquina de Turing) que pode decidir sobre qualquer par de números n, m, seja n<'m ou não. Muitas relações recursivas são na verdade bem-ordenadas, e dada tal relação R e uma teoria T (estendendo a aritmética de Peano), podemos perguntar se T pode provar que R é uma boa ordenação. Em geral, o comprimento das ordenações prováveis ​​é significativamente pequeno, quando comparado com o comprimento de todas as ordenações recursivas. Podemos então comparar teorias verificando quais podem provar a boa ordenação de ordenações mais longas (recursivas). Com base nessa descrição, isso parece um pouco excêntrico, mas está intimamente relacionado com quanta indução transfinita a teoria pode formalizar e provar, portanto, esses ordinais teóricos da prova são, na verdade, parâmetros muito razoáveis ​​do poder de expressão e força das teorias.

Na teoria dos conjuntos, um dos temas padrão é a comparação da força de consistência das teorias. Do trabalho de Goedel, sabemos que uma teoria razoável T não pode provar sua própria consistência, então se uma teoria T consegue provar a consistência de uma teoria S, isso nos dá uma maneira natural em que T é mais forte do que S. A força de consistência resultante a hierarquia é um objeto matemático fascinante. Acontece que, para extensões naturais T de ZFC, tendemos a ser capazes de identificar um grande axioma cardinal que, quando adicionado a ZFC, resulta em uma teoria equiconsistente com T. Isso nos dá um grande companheiro cardinal de T, e o estudo puramente matemático de grandes cardeais então reflete o estudo dos pontos fortes das teorias. É notável que exista tal coisa. A teoria do modelo interno é a área da teoria dos conjuntos que mais diretamente se preocupa em tentar explicar esse fenômeno. A identificação real do companheiro de uma teoria, por outro lado, é hoje em dia uma questão principalmente combinatória, graças ao desenvolvimento do método de forçamento por Cohen.

Referências sobre fundações univalentes podem ser encontradas aqui e aqui. Em matemática reversa, veja por exemplo aqui além do link fornecido na outra resposta. Sobre a teoria da prova, veja aqui. Para a hierarquia de força de consistência na teoria dos conjuntos, veja aqui, embora muitos artigos e palestras de John Steel também sejam relevantes. Além disso, muitas das minhas postagens no MathOverflow e Math.Stackexchange estão relacionadas a este tópico. Deixe-me destacar este.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Existem vários trabalhos mais recentes sobre assuntos que podem ser considerados metamatemáticos.

Por exemplo, Reverse Mathematics foi iniciado por Harvey Friedman em meados dos anos setenta.

Recentemente, houve um pouco de entusiasmo em torno da Teoria dos tipos de homotopia e fundações univalentes, não apenas, mas também porque se encaixa perfeitamente com o esforço de ter provas verificáveis ​​automaticamente.

E, desnecessário dizer, existem vários outros trabalhos em teoria da prova e outros ramos da lógica matemática. O problema que você pode estar percebendo é o que é expresso em uma resposta no MathOverflow a uma pergunta sobre metamatemática; os problemas ainda são estudados, mas não mais percebidos como meta -matemática, mas sim "apenas matemática regular".

Levar sua pergunta em uma direção um pouco diferente pode argumentar que os esforços para tornar mais e mais matemática passível de verificação formal por meio de assistentes de prova ou até mesmo prova automatizada de teoremas é a continuação natural e atual do esforço inicial para formalizar a matemática.



Estas perguntas e respostas foram traduzidas automaticamente do idioma inglês.O conteúdo original está disponível em stackexchange, que agradecemos pela licença cc by-sa 3.0 sob a qual é distribuído.
Loading...