Questão:
O que motivou Cantor a inventar a teoria dos conjuntos?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
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Não consigo imaginar matemática sem conjuntos, mas a questão "como era a matemática antes de haver conjuntos" não tem resposta, eu acho. Em vez disso, uma boa resposta à pergunta do título deve abranger um certo aspecto da pergunta mais geral.

Acho que a ideia de fundar a base da matemática também estava em jogo. Se Cantor é novo sobre isso, não tenho certeza.
Não sei se este link já foi fornecido neste tópico, mas acho que devo compartilhá-lo aqui. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Obrigado @ankit, é um artigo muito bom e absolutamente relevante.
Claro que você não pode imaginar matemática sem conjuntos - matemática antes da teoria formal dos conjuntos não é o mesmo que "matemática antes de haver conjuntos". Como os * algoritmos * existiram para sempre, embora sua formalização não tenha 150 anos, as pessoas sempre usaram interseções de coleções (* conjuntos *) e assim por diante.
Trzy respostas:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
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Uma motivação imediata de Cantor para trabalhar no que se tornou a teoria dos conjuntos foi seu trabalho anterior em séries trigonométricas. Para resolver um problema naquele domínio, ele considerou o conjunto (um conjunto fechado) de zeros de tal função, então o conjunto derivado desse conjunto, o conjunto derivado desse conjunto e assim por diante. Tudo isso ainda é clássico, mas então teve que ir um passo além disso para considerar primeiro a interseção de todos esses conjuntos, e então o conjunto derivado de aquele conjunto e assim por diante.

Então ele passou a considerar os ordinais transfinitos.

Isso é discutido em vários lugares, incluindo "Teoria dos conjuntos e singularidade das séries trogonométricas" por Kechris ou " Unicidade das séries trigonométricas e teoria descritiva dos conjuntos, 1870–1985 "por Roger Cooke (Arquivo de História das Ciências Exatas, 1993)

O artigo original é (eu acho) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Matemática . Annalen, 1872) "

Outra motivação foi seu trabalho anterior na teoria dos números. Usando o que agora é chamado de argumento da diagonalização, ele foi capaz de provar resultados sobre a existência de números transcendentais. Isso está em seu artigo de 1874 "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais")

Em resumo, a motivação original era ter ferramentas melhores para fazer progresso nos problemas existentes.

Você tem referências para o primeiro ponto?
Eu adicionei algumas referências.
Além das referências que você sugere, o lugar padrão para ler sobre isso é o prefácio de Jourdain para sua tradução da Matemática de Cantor. Memórias de Annalen, [* Contribuições para a fundação da teoria dos números transfinitos *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
A discussão mais detalhada que conheço em inglês para os artigos sobre séries trigonométricas de Cantor é a de Dauben * The trigonomometric background to Georg Cantor's theory of sets *. Quanto a Cantor, estendendo o argumento da contabilidade dos racionais aos números algébricos, isso se originou de Dedekind nas cartas a Cantor. As traduções para o inglês das cartas relevantes estão nas páginas 844-850 do livro de Ewald (referência ** [7] ** [aqui] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinity-influencia-cantor)). Ver também pp. 177-186 do livro de Ferreirós de 1999 e seu 1993 Historia Math. papel.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
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Na verdade, Cantor estava trabalhando em um problema específico da teoria de séries trigonométricas, o chamado problema de exclusividade (não posso ser mais específico até que MathJax seja apresentado a este site). Este problema o levou a considerar conjuntos arbitrários na linha real. Quero dizer conjuntos mais complicados do que conjuntos finitos ou união finita de intervalos. Naquela época não havia ferramentas e nenhuma terminologia para estudar conjuntos arbitrários, então tudo isso teve que ser criado.

No processo deste estudo ele criou não apenas a teoria dos conjuntos, mas também o que é chamado agora de topologia geral . (É interessante notar que o problema original sobre séries trigonométricas não tem solução completa até hoje :-)

O método original de prova, o chamado "procedimento diagonal" remonta ao predecessor de Cantor, Paul du Bois Reymond, que também estudava séries trigonométricas.

Desculpe pela picuinha, mas é a segunda vez que eu noto: MathJax, não MathJack.
Além disso, o procedimento diagonal surgiu em um cenário não relacionado ao estudo de séries trigonométricas. [Aqui] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) estão alguns detalhes. E [aqui] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) é uma citação de Hardy que talvez explique porque du Bois-Reymond não é mais conhecido.
Você está absolutamente certo. O procedimento diagonal foi usado para as questões do tipo "ordens do infinito". Mas du Bois-Reymond também estudou séries trigonométricas, apenas uma coincidência interessante :-)
Obrigado @quid:! Você pode realmente editar o texto ao detectar erros de impressão.
Infelizmente, ainda não tenho pontos suficientes para editar e, para as edições sugeridas, há um limite de caracteres.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
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Segundo o próprio Cantor, era seu desejo substituir a explicação mecânica da natureza por uma teoria mais completa. Veja vários aspectos em Quais das afirmações de Cantor se tornaram verdade??



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