Questão:
Que exemplos levaram à definição moderna de um espaço topológico?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
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Hoje, a linguagem dos espaços topológicos via conjuntos abertos é fundamental em muitas áreas diferentes da matemática, e é um pouco misterioso que o mesmo formalismo capture com sucesso uma variedade tão ampla de comportamento. Posso pensar em várias razões independentes para inventar a definição de uma topologia, todas as quais estariam nas telas de radar dos matemáticos na época em que a definição foi refletida pela primeira vez no início do século 20:

  1. Para fornecer uma base para o programa Erlangen de Klein e o trabalho de Poincaré sobre os números de Betti e o grupo fundamental
  2. Para esclarecer os fundamentos do cálculo, por exemplo o papel da compactação no teorema do valor extremo
  3. Para distinguir entre várias noções de convergência de funções (levando à análise funcional)
  4. Para dar significado a argumentos envolvendo configurações "genéricas" em algébrica geometria

Meu entendimento é que levou algum tempo para o formalismo moderno dos espaços topológicos emergir, então estou me perguntando quais resultados ou exemplos específicos foram mais influentes em seu desenvolvimento. E quais aplicações modernas da teoria só foram realizadas depois que ela amadureceu?

Acho que Volterra e alguns outros (começando em meados ou final da década de 1880, creio) que começaram a tentar entender os métodos de cálculo de variações falando sobre fazer cálculo com "funções de curvas" (por exemplo, seu comprimento) e a posterior unificação de Frechet dessas idéias em seu Ph.D. de 1906. tese, teve muito a ver com a evolução das noções de topologia. Veja também a questão matemática Stackexchange [Origens da definição moderna de topologia] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
É uma boa questão de por que a topologia é introduzida por meio de conjuntos abertos. Quando eles foram apresentados à minha aula de física na faculdade - eles pareciam claramente impressionados e a noção de conjuntos abertos não era natural para eles. Na verdade, a topologia pode ser introduzida por meio de uma generalização de limites - o que eu espero que seja muito mais natural. Liebniz já tinha a noção moderna de continuidade na forma embrionária, acredito.
Dois respostas:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
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Eu acredito que nossa definição moderna de um espaço topológico veio principalmente do livro de Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre (Foundations of Set Theory), publicado pela primeira vez em 1914, 2ª ed. 1927. Hausdorff começou com espaços métricos, mas depois os generalizou.

É claro, o pano de fundo para o trabalho de Hausdorff foi o 19º trabalho sobre continuidade e a chamada "aritmetização da análise" --- a tentativa para colocar o cálculo em uma base lógica sólida. Os maiores nomes aqui são Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano e Cantor. Mas a axiomatização da topologia geral em termos de conjuntos abertos ou fechados deve-se a Hausdorff.

A versão que ouvi, de fato, diz que foi Hausdorff. Na definição de uma variedade, existem pequenas vizinhanças mapeadas bijetivamente para abrir bolas no espaço euclidiano, de modo que, onde elas se sobrepõem, os mapas de transição são contínuos no espaço euclidiano. Então Hausdorff viu que na definição de "função contínua" de $ X \ a Y $, você não precisava que as vizinhanças correspondessem aos conjuntos no espaço euclidiano, você poderia apenas dizer para cada $ a \ em X $ e para cada bairro $ B $ ou $ f (a) $ em $ Y $ existe um bairro $ A $ de $ a $ em $ X $ tal que $ f $ mapeia $ A $ em $ B $. ...
... Então ele disse: e se tomarmos isso como uma ** definição ** de um tipo de espaço onde podemos definir "função contínua". Ele deu axiomas para isso, onde vizinhança de pontos era a noção primitiva. Mais tarde, outros surgiram com outras definições, e a de Hausdorff acabou sendo um caso especial e agora é conhecido como "espaço de Hausdorff".
@GeraldEdgar Eu ouvi a mesma história, com a diferença de que ele estava adaptando a definição de uma variedade diferencial para o caso contínuo mais geral. Além disso, Weyl deveria estar envolvido de alguma forma. Mas não consegui rastrear onde li isso. Não consegui encontrar no livro The Concept of a Riemann Surface de Weyl.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
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Os espaços topológicos parecem ter suas raízes no século XIX . Começou, indiretamente, com a teoria dos limites e provas delta-épsilon. Um grande avanço ocorreu com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos (por exemplo, as Leis de DeMorgan) na segunda metade do século. Isso levou à "generalização" dos axiomas de limite, convergência e ponto de acumulação usando a teoria dos conjuntos abertos e fechados. A topologia às vezes é chamada de teoria do "conjunto de pontos".

Os aplicativos que você cita vieram "mais tarde", ou seja, no século XX. Assim como os chamados Axiomas de Separação, começando com os espaços de Hausdorff, em 1914, e estendidos na metade do século. Mas as bases para essas aplicações foram lançadas no século anterior.

Isso não responde à pergunta, que pede especificamente * exemplos de espaços topológicos *. Sua resposta não é totalmente inútil, mas acho que seria melhor como um comentário.
@JackM: Na pergunta, o OP perguntou "quais resultados ou exemplos específicos foram mais influentes ..." Eu respondi usando "resultados", não exemplos. Você é um matemático e lida com "exemplos". Sou um historiador e lido com "linhas do tempo". (Veja nossas respectivas pontuações de reputação de SE.) De uma perspectiva histórica, "o que levou a" é bem respondido por resultados como "limites e provas delta-épsilon", bem como teoria dos conjuntos. Portanto, minha resposta remonta ao século XIX. Para algumas pessoas, essa "visão geral" pode ser tão útil quanto exemplos contemporâneos.


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