Questão:
Existem fontes escritas (século 19) que expressam a crença de que a propriedade de valor intermediário é equivalente à continuidade?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
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Conforme perguntado no título:

Existem fontes escritas (do século 19) declarando explicitamente a crença de que qualquer função que satisfaça a propriedade de valor intermediário é contínua?

(Não acredito que faça sentido procurar por fontes anteriores, uma vez que a própria noção de continuidade não foi tornada rigorosa até o século 19. Esta pergunta teve origem em uma resposta que dei em Math.Stackexchange. O que se segue é muito emprestado dessa resposta.)

Se I for um intervalo, ef: I → ℝ, dizemos que f tem o propriedade de valor intermediário se e somente se sempre que a ≠ b forem pontos de I, se c estiver entre f (a) e f (b), então há um anúncio entre a e b com f (d) = c.

Bolzano publicou em 1817 seu artigo Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Prova puramente analítica do teorema de que entre quaisquer dois valores que dão resultados de sinais opostos existe pelo menos uma raiz real da equação). Lá, ele prova que as funções contínuas satisfazem a propriedade de valor intermediário. Como ele indica no artigo, a proposição era amplamente considerada verdadeira, e vários argumentos "geométricos" foram dados tentando justificá-la.

Por outro lado, agora sabemos que a propriedade de valor intermediário é muito mais fraco do que a continuidade. Uma boa pesquisa contendo exemplos detalhados de funções que são descontínuas e ainda têm a propriedade de valor intermediário é

I. Halperin, Funções descontínuas com a propriedade Darboux , Can. Matemática. Bull., 2 (2) , (maio de 1959), 111-118.

No artigo de Halperin, encontramos a citação divertida

Até o trabalho de Darboux em 1875, alguns matemáticos acreditavam que a propriedade [o valor intermediário] na verdade implicava a continuidade de f (x).

Esta afirmação é repetida em (muitos) outros lugares. Por exemplo, aqui lê-se

No século 19, alguns matemáticos acreditavam que a propriedade [o valor intermediário] era equivalente à continuidade.

Isso é muito semelhante ao que encontramos em A. Bruckner, Differentiation of real functions , AMS, 1994. Na página 5, lemos

Alguns matemáticos do século 19 acreditavam que esta propriedade era equivalente à propriedade da continuidade.

Wikipedia:

Historicamente, esta propriedade de valor intermediário foi sugerida como uma definição para a continuidade de funções de valor real [carece de fontes?].

Não consegui encontrar uma fonte direta expressando esta crença. Que este foi realmente o caso é talvez apoiado pelas seguintes duas citações de Mémoire sur les fonctions discontinues de Gaston Darboux, Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4 , (1875), 161-248. Primeiro, nas páginas 58-59 lemos:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on respecterait à bon droit comme évidents ou that l'on Accorderait dans applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions relatives aux fonctions les plus générales. Por exemplo, on verra qu'il existe des fonctions continua qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions descontinua qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermires. / p>

O artigo de Darboux prova que as derivadas possuem a propriedade de valor intermediário, e que existem derivadas descontínuas, primeiro verificando se as duas noções não são equivalentes. (Por esta razão, a propriedade de valor intermediário é às vezes chamada de propriedade Darboux ou, ainda, diz-se que uma função com esta propriedade é Darboux contínua .)

A prova de que as derivadas têm a propriedade de valor intermediário começa na página 109, onde lemos:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' se existe des funções descontinua qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère differentif des fonctions continua, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Wikipedia menciona o seguinte:

Antes que a definição formal de continuidade fosse dada, a propriedade de valor intermediário era dada como parte da definição de um função contínua. Os proponentes incluem Louis Arbogast, que presumiu que as funções não tinham saltos, satisfaziam a propriedade de valor intermediário e tinham incrementos cujos tamanhos correspondiam aos tamanhos dos incrementos da variável.

O artigo cita este site, embora eu não tenha conseguido verificar isso pelos escritos de Arbogast (ou pelo site vinculado). Na verdade, Arbogast parece ter uma noção de função que é significativamente mais restritiva do que nossa noção moderna de continuidade e, portanto, o teorema do valor intermediário é válido. Não vejo que ele trate diretamente da propriedade de valor intermediário, ou indique que ela implica continuidade. (Dado o seu entendimento do que é uma função, nem tenho certeza de que isso seria significativo.)

Finalmente, deixe-me perguntar:

Se não é verdade que a crença na equivalência dessas duas noções foi explicitamente declarada na literatura, onde se origina a falsa alegação? (Está no artigo de Halperin?)

Recentemente, fui informado sobre [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni continue nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Esteira. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. O jornal parece se preocupar, pelo menos em parte, precisamente com essa questão. Expandirei isso em uma resposta depois de ler o artigo cuidadosamente e confirmar sua relevância.
Trzy respostas:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
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Uma resposta à sua pergunta pode ser que a separação na verdade veio muito tarde. A Wikipedia afirma que "Os autores anteriores consideraram o resultado intuitivamente óbvio e não exigia nenhuma prova", então, até que a continuidade fosse formalizada por Bolzano e Cauchy, acredito que não faz sentido encontrar evidências. Portanto, precisamos procurar pessoas que leiam Bolzano ou Cauchy e acreditassem que a propriedade de valor intermediário é equivalente à continuidade.

Como você já afirmou em sua pergunta, Darboux mostrou em 1875 que você poderia verificar o teorema sem ser contínuo. Isso deixa uma pequena janela - 1817-1875 - para encontrar os absurdos publicados.

E aqui vem o próprio Darboux.

La propriété précédente a souvent étée award pour la définition des fonctions continua

que traduz:

A proposição mencionada foi freqüentemente confundida com a definição de função contínua

Portanto, isso responde à sua segunda pergunta: se nenhuma evidência anterior puder ser encontrada, o próprio Darboux afirmou que o erro foi generalizado antes de seu próprio trabalho.

Na introdução da mesma nota, Darboux afirma que M. O trabalho de Hankel de 1870 sobre a memória de Riemann não estava isento de censura, mas não está claro se ele está falando sobre a existência de uma derivada para todas as funções ou o teorema do valor intermediário neste ponto. Acredito que alguém disposto a encontrar evidências de uma confusão poderia examinar o trabalho de M. Hankel, mas não consegui encontrar o artigo que Darboux descreve.

Sim obrigada. Concordo que apenas os artigos após Bolzano e anteriores a Darboux parecem relevantes. Também indiquei na pergunta que Darboux sugere que o erro era "comum" (as duas citações que escolhi pretendiam ilustrar isso). Eu também não vi o artigo de Hankel; Vou ver se consigo uma cópia nos próximos dias.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
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Esta não é realmente uma resposta, mas é muito longa para caber em um comentário. A questão pressupõe que, de acordo com as definições do século XIX, é falso que a propriedade de valor intermediário implique continuidade. Não está nada claro para mim que seja esse o caso.

Existem muitas maneiras possíveis de formular a definição da função. Três exemplos seriam definir a noção como uma fórmula, usar noções de conjunto de pontos ou proceder como na moderna análise infinitesimal suave (SIA). Pelo que eu posso dizer a partir do artigo do WP " História do conceito de função," a versão do conjunto de pontos não se tornou totalmente desenvolvida e universalmente aceita até meados do século 20.

Se tivermos um contra-exemplo para a afirmação, então para cada $ y $ real, temos um conjunto $ S_x $ de $ x $ valores equinumerosos aos racionais, com todos os $ S_x $ disjuntos e situados em um intervalo finito . Isso é equivalente a uma prova de que $ \ mathbb {R} $ é igual a $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. Isso requer pelo menos o seguinte:

(1) Aceitamos a existência de funções que são descontínuas em todos os lugares.

(2) Aceitamos a análise cantoriana dos infinitos.

Ambas são escolhas filosóficas significativas, não verdades inevitáveis. # 1 é falso no SIA, por exemplo. # 2 foi altamente controverso no final do século 19.

Então, acho que a melhor maneira de fazer a pergunta seria mais assim: em que ponto do século 19 ou O século 20 desenvolveu um consenso suficiente sobre definições e filosofia para torná-lo falso, de acordo com as escolhas padrão, que a propriedade de valor intermediário implica continuidade?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
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Francamente, não entendo como alguém no século 19 poderia ter pensado que propriedade de valor intermediário implica continuidade. Pegue $ y (x) = 0 $ se $ x = 0 $ e $ y = sin (1 / x) $ caso contrário e você tem seu contra-exemplo.

Suspeito que as funções definidas pela análise de casos reais foram levadas em consideração um pouco tarde. Alguém sabe detalhes?


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